Распределения непрерывных случайных величин

Равномерное распределение. Непрерывная величина Х  распределена равномерно на интервале ( a , b ), если все ее возможные значения находятся на этом интервале и плотность распределения вероятностей постоянна:

(29)

Для случайной величины Х , равномерно распределенной в интервале ( a , b ) (рис. 4), вероятность попадания в любой интервал ( x 1 , x 2 ), лежащий внутри интервала ( a , b ), равна:

(30)

Рис. 4. График плотности равномерного распределения

Примерами равномерно распределенных величин являются ошибки округления. Так, если все табличные значения некоторой функции округлены до одного и того же разряда , то выбирая наугад табличное значение, мы считаем, что ошибка округления выбранного числа есть случайная величина, равномерно распределенная в интервале

Показательное распределение. Непрерывная случайная величина Х имеет показательное распределение , если плотность распределения ее вероятностей выражается формулой:

(31)

График плотности распределения вероятностей (31) представлен на рис. 5.

Рис. 5. График плотности показательного распределения

Время Т безотказной работы компьютерной системы есть случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром λ , физический смысл которого – среднее число отказов в единицу времени, не считая простоев системы для ремонта.

Нормальное (гауссово) распределение. Случайная величина Х имеет нормальное (гауссово) распределение , если плотность распределения ее вероятностей определяется зависимостью:

(32)

где m = M ( X ) , .

При нормальное распределение называется стандартным .

График плотности нормального распределения (32) представлен на рис. 6.

Рис. 6. График плотности нормального распределения

Нормальное распределение является наиболее часто встречающимся в различных случайных явлениях природы. Так, ошибки выполнения команд автоматизированным устройством, ошибки вывода космического корабля в заданную точку пространства, ошибки параметров компьютерных систем и т.д. в большинстве случаев имеют нормальное или близкое к нормальному распределение. Более того, случайные величины, образованные суммированием большого количества случайных слагаемых, распределены практически по нормальному закону.

Гамма-распределение. Случайная величина Х имеет гамма-распределение , если плотность распределения ее вероятностей выражается формулой:

(33)

где – гамма-функция Эйлера.

Основные свойства гамма-функции:

Параметры – любые положительные числа. Гамма-распределение является также распределением Пирсона типа III [3]. При гамма-распределение превращается в показательное распределение с параметром λ , так как Г(1) = 1. Гамма-распределение широко используется в математической статистике. Hа рис. 7 представлены графики плотности гамма-распределения (33) при .

Рис. 7. Графики плотности гамма-распределения