Метод Эйлера

Рассмотрим дифференциальное уравнение

(1)

с начальным условием

Подставив в уравнение (1), получим значение производной в точке :

При малом имеет место:

Обозначив , перепишем последнее равенство в виде:

(2)

Принимая теперь за новую исходную точку, точно также получим:

В общем случае будем иметь:

(3)

Это и есть метод Эйлера . Величина называется шагом интегрирования . Пользуясь этим методом, мы получаем приближенные значения у , так как производная на самом деле не остается постоянной на промежутке длиной . Поэтому мы получаем ошибку в определении значения функции у , тем большую, чем больше . Метод Эйлера является простейшим методом численного интегрирования дифференциальных уравнений и систем. Его недостатки – малая точность и систематическое накопление ошибок.

Более точным является модифицированный метод Эйлера с пересчетом . Его суть в том, что сначала по формуле (3) находят так называемое «грубое приближение» (прогноз):

а затем пересчетом получают тоже приближенное, но более точное значение (коррекция):

(4)

Фактически пересчет позволяет учесть, хоть и приблизительно, изменение производной на шаге интегрирования , так как учитываются ее значения в начале и в конце шага (рис. 1), а затем берется их среднее. Метод Эйлера с пересчетом (4) является по существу методом Рунге-Кутта 2-го порядка [2], что станет очевидным из дальнейшего.

Рис. 1. Геометрическое представление метода Эйлера с пересчетом.