Пользователь Пароль
Забыли пароль? Регистрация
Содержание >> Прикладная математика >> Численные методы >> Уравнения математической физики >> Метод характеристик

Уравнения математической физики - Метод характеристик

Метод характеристик

Метод характеристик – это метод численного интегрирования систем дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Впервые для ряда частных случаев был рассмотрен в работах Даламбера. В настоящее время метод характеристик широко применяется в задачах распространения волн в гидрогазодинамике. Так, динамика потока жидкости с учетом распределенных параметров по длине трубопровода (давления, скорости потока, массы, вязкого трения) описывается системой квазилинейных гиперболических уравнений в частных производных [4–6]:

          (18)

где p, u – средние по сечению давление и скорость потока жидкости; t – время; х – координата по длине трубы; ρ - плотность жидкости;  – скорость звука в жидкости с учетом упругости стенок трубопровода, Е1 – объемный модуль упругости жидкости; Е2 – модуль упругости материала трубы; d, δ – внутренний диаметр и толщина стенки трубопровода; Φ (u, x) – нелинейная функция вязкого трения. Для трубопровода круглого сечения  где λ – коэффициент гидравлического сопротивления, зависящий от числа Рейнольдса Re = u d / ν, здесь ν – кинематическая вязкость жидкости.

Интегрирование нелинейных уравнений (18) проведем численным методом характеристик, в соответствии с которым исходные дифференциальные уравнения в частных производных (18) заменяются обыкновенными дифференциальными уравнениями

         (19)

cправедливыми вдоль прямых и обратных характеристик dx = ± cdt.

Численное интегрирование уравнений (19) методом характеристик осуществляется следующим образом. На плоскости xt (рис.4) строится сетка прямых и обратных характеристик, причем шаг интегрирования по длине Δx связан с шагом интегрирования по времени Δt  линейным соотношением: Δx = c Δt. После перехода в уравнениях (19) к конечным разностям с учетом заданных граничных условий решаем полученную систему уравнений методом итераций.

Ris1_char.gif
Рис. 4. Построение прямой и обратной характеристик

 

Рассмотрим решение задачи (18) – (19) методом характеристик при определенных граничных условиях. Введем в узлах сетки характеристик (рис.4) следующие обозначения: p ( xi , t k ) = p ik ; u ( xi , t k ) = u ik ; λ ( xi , t k ) = λ ik . Тогда с учетом граничных условий uok = f (tk ),  unk = g (t k ) после замены в уравнениях (19) производных конечно-разностными отношениями, а переменных p, u и λ – их средними значениями в соседних узлах сетки на прямой и обратной характеристиках  [соответственно ( xi , tk ) , ( x i –1 , t k –1) и ( x i , t k ) , ( x i +1 , t k – 1)], получим следующую систему нелинейных алгебраических уравнений:

         (20)

где  f (tk ) и g (t k ) – функции времени в граничных узлах трубопровода, определяющие внешние возмущения, действующие на поток жидкости (например, пульсация расхода из-за кинематики насоса, объемное или дроссельное регулирование и т.д.); λik – коэффициент гидравлического сопротивления в узле ( xi , tk ):

             (21)

где .

Полученная система уравнений (20) – (21) решается итерационным методом. 

Главная | Дискретность | Пользование сайтом | Ссылки | Связь с нами
© Д-р Юрий Беренгард. 2010 - 2017
Последнее обновление: 23 июля 2015 г.


Rambler's Top100