Пользователь Пароль
Забыли пароль? Регистрация
Содержание >> Прикладная математика >> Математическая статистика >> Обработка результатов эксперимента >> Выравнивание статистических распределений. Кривые Пирсона

Обработка результатов эксперимента - Выравнивание статистических распределений. Кривые Пирсона

Выравнивание статистических распределений. Кривые Пирсона

Для выравнивания (аппроксимации) статистических распределений используется множество различных методов: полиномиальной аппроксимации, рядами Шарлье, пертурбационными многочленами Крамера, метод Пирсона и др. Основным недостатком полиномиальной аппроксимации является формальность получаемых распределений – тип аппроксимации не связан с природой случайного явления. Методы Шарлье и Крамера подходят к аппроксимации распределений, приближенных к нормальному. В отличие от них метод Пирсона достаточно универсален и охватывает практически все известные виды статистических распределений. Пирсон [1, 2] предложил для описания статистического распределения случайной величины Х использовать решения дифференциального уравнения:

            (1)

где началом отсчета  х  служит его среднее значение, М – мода.

Коэффициенты в уравнении (1) могут быть вычислены с помощью центральных моментов.

При введении обозначений  они находятся из сотношений:

           (2)

Введем вспомогательную величину:

             (3)

Тогда систему уравнений (2) можно переписать в виде:

            (2а)

Вычислим дискриминант знаменателя в уравнении (1):

.

Обозначим

           (4)

Тогда

Общий интеграл уравнения (1) существенно зависит от вида корней квадратного уравнения  и определяется критерием κ («каппа Пирсона»):

1.  При  вещественные корни различных знаков.

2.  При комплексные корни.

3.  При   вещественные корни одного знака.   

Каждому из этих случаев соответствует один из основных типов кривых Пирсона – I, IV и VI. Остальные девять типов и кривая нормального распределения – их частные или граничные случаи. Чаще всего на практике встречаются первые семь типов кривых Пирсона. На рис.1 приведен график для определения типа кривой по параметрам [1, 2].

Ris1_Pearson.gif
Рис. 1. График для определения типа кривой Пирсона в зависимости от

Рассмотрим уравнения кривых Пирсона IVII типов и способы определения входящих в них параметров [1, 2].

 

Кривая I типа соответствует κ < 0; ее уравнение имеет вид:

            (5)

Показатели степени   корни уравнения

              (6)

причем при  берется , а при   наоборот.

Коэффициенты  определяются по формулам:

            (7)

где


Начальная ордината

              (8)

Здесь Г(z) – гамма-функция:

               (9)

Областью определения кривой I типа является интервал:  , коэффициенты  положительны,  больше  – 1.

Ris2_Pearson.gif
Рис. 2. Кривые Пирсона I типа

 

В зависимости от значений различают три разновидности кривой I типа (рис. 2):

1. При  ее ординаты ограниченны (рис. 2, а, б, в, г).

2. При разных знакахзначения плотности распределения на одном из концов интерваластремятся к бесконечности (J-образные кривые, рис.2, д, е, ж, з). 

3. При распределение становится антимодальным (U-образным) – рис. 2и.

 

Кривая IV типа соответствует  и описывается уравнением:

             (10)

где

            (11)

Знак ν выбирается противоположным знаку . Начальная ордината

             (12)

а  – табулированная функция.

Начало координат берется в точке  (здесь  – математическое ожидание случайной величины Х). Кривая IV типа является асимметричной (рис. 3), лежащей на бесконечном интервале . Мода этого распределения  

Ris3_Pearson.gif
Рис. 3. Кривая Пирсона IV типа

 

Кривая VI типа соответствует κ > 1 и описывается уравнением:

             (13)

Здесь

             (14)

          (15)


причем должно быть выполнено условие

Начало координат берется в точке  а начальная ордината

          (16)

Кривая лежит на интервале от а  до +∞ при  и от  –∞ до  а при . Возможные варианты кривой типа VI при  представлены на рис. 4.

Ris4_Pearson.gif
Рис. 4. Кривые Пирсона VI типа

 

Следующая группа кривых Пирсона соответствует частным значениям критерия κ.

 

Кривая III типа имеет место при  и описывается уравнением:

              (17)


причем х меняется от  –а  до +∞. Форма кривой – та же, что и на рис. 4 для кривой VI типа с заменой m1 на  и  а на  –а. Параметры кривой определяются по формулам:

          (18)

Мода  существует при  

Частным случаем кривой Пирсона III типа при  является кривая Х типа – экспонента:

             (19)

Начало координат – в точке .


Кривая V типа соответствует  κ = 1. Ее уравнение имеет вид:

          (20)

Здесь

           (21)

Функция y= f(x) определена при всех х > 0. Начало координат – в точке  Общий вид кривой представлен на рис. 5.

Ris5_Pearson.gif

Рис. 5. Кривая Пирсона V типа

При  κ = 0 в зависимости от значения  получаются кривые II или VII типа или нормальное распределение.


Кривая II типа получается при  и описывается уравнением:

             (22)

где

         (23)


Коэффициент  Начало координат соответствует среднему значению статистического распределения. Кривая II типа симметрична относительно начала координат и определена для  При  распределение становится антимодальным (U-образным).

Кривая VII типа соответствует  и описывается уравнением:

             (24)

где

           (25)

Коэффициент  Начало координат соответствует среднему значению случайной величины. Кривая VII типа симметрична относительно начала координат.


Кривая нормального распределения

             (26)


получается при  и  Начало координат соответствует наблюденному среднему значению. Основные свойства нормального распределения общеизвестны.

Главная | Дискретность | Пользование сайтом | Ссылки | Связь с нами
© Д-р Юрий Беренгард. 2010 - 2017
Последнее обновление: 23 июля 2015 г.


Rambler's Top100