Пользователь Пароль
Забыли пароль? Регистрация
Содержание >> Прикладная математика >> Матричная алгебра >> Основы матричного исчисления >> Операции над матрицами

Матричная алгебра - Операции над матрицами

Операции над матрицами

1. Равенство матриц

Две матрицы одной и той же размерности  считаются равными:  А=В,  если равны их соответствующие элементы, то есть

2. Сумма и разность матриц

Суммой двух матриц одной и той же размерности  называется матрица той же размерности, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В, то есть
Из определения суммы матриц непосредственно следуют ее основные свойства:
1)  А+В = В+А ;
2)  А+(В+С) = (А+В)+С ;
3)  А+0 = А.
Аналогичным образом определяется разность матриц  А В.

3. Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число d (или произведением числа d на матрицу  А) называется матрица, элементы которой являются произведениями элементов матрицы А на число d . Иными словами,

Из определения произведения числа на матрицу непосредственно следуют его основные свойства:
1)  1А=А1=А ;
2)  0А=А0=0 ;
3)  d (hA) = (dh)A= h (dA) ;
4)  (d+h)A=dA+hA ;
5)  d (A+B) = dA+dB.
Здесь А и В – матрицы, d и  h – числа.

Заметим, что для квадратной матрицы  А порядка  n имеет место равенство:

Матрица –А= (–1)А называется противоположной. Очевидно, что для двух матриц А и В одинаковой размерности имеет место равенство: А В = А + ( В) .

4. Умножение матриц

Пусть  размерности матриц  А и  В равны соответственно m×n и  n×k, то есть число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, тогда для этих двух матриц определена матрица  С размерности  m×k, являющаяся их произведением: С = АВ. Элементы матрицы С вычисляются по формуле:

Отсюда следует, что элемент, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце матрицы-произведения, равен сумме произведений элементов i-ой строки первой матрицы на соответствующие элементы j-ого столбца второй матрицы.

Из определения произведения матриц следует, что можно умножать квадратные матрицы только одного и того же порядка.

Основные свойства матричного произведения:
1)  А(ВС) = (АВ) С ;
2)  d (АВ) = (dA) B ;
3)  (А+В) С= АС+ ВС ;
4)  С (А+В) = СА+ СВ .
Здесь А, В и С – матрицы, d – число.

Произведение двух матриц в общем случае не коммутативно, то есть АВ ≠ ВА.
В частном случае, когда АВ = ВА, матрицы А и В называются коммутативными (перестановочными). Как легко убедиться, единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка, причем АЕ = ЕА = А. Следовательно, при умножении матриц единичная матрица Е играет ту же роль, что единица при умножении чисел.

Для квадратных матриц А и В одного и того же порядка имеет место равенство: det (AB) = det (BA) = det A · det B.

П р и м е р  1.  Даны матрицы

Вычислить определители левого и правого произведений АВ и ВА.

Р е ш е н и е . 

или окончательно:

то есть АВ ≠ ВА.

Однако, определители произведений АВ и ВА равны:

Главная | Дискретность | Пользование сайтом | Ссылки | Связь с нами
© Д-р Юрий Беренгард. 2010 - 2017
Последнее обновление: 23 июля 2015 г.


Rambler's Top100