Пользователь Пароль
Забыли пароль? Регистрация
Содержание >> Прикладная математика >> Матричная алгебра >> Основы матричного исчисления >> Обратная матрица

Матричная алгебра - Обратная матрица

Обратная матрица


Обратной матрицей называется матрица, которая при умножении как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу.
Обозначим обратную матрицу к матрице А через , тогда согласно определению получим:

где Е – единичная матрица.
Квадратная матрица называется неособенной (невырожденной), если ее определитель не равен нулю. В противном случае она называется особенной (вырожденной) или сингулярной.

Имеет место теорема: всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу.

Операция нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы. Рассмотрим алгоритм обращения матрицы. Пусть дана неособенная матрица n-го порядка:

где Δ = det A ≠ 0.

Алгебраическим дополнением элементаматрицы n -го порядка А называется взятый с определенным знаком определитель матрицы (n –1)-го порядка, полученной вычеркиванием i-ой строки и  j-го столбца матрицы А:

Составим так называемую присоединенную матрицу:

где– алгебраические дополнения соответствующих элементовматрицы А.
Заметим, что алгебраические дополнения элементов строк матрицы А размещаются в соответствующих столбцах матрицы Ã, то есть одновременно производится транспонирование матрицы.
Разделив все элементы матрицы Ã на Δ – величину определителя матрицы А, получим в результате обратную матрицу:

Отметим ряд особых свойств обратной матрицы:
1) для данной матрицы А ее обратная матрица   является единственной;
2) если существует обратная матрица , то правая обратная и левая обратная матрицы совпадают с ней;
3) особенная (вырожденная) квадратная матрица не имеет обратной матрицы.

Основные свойства обратной матрицы:
1) определитель обратной матрицы и определитель исходной матрицы являются обратными величинами;
2) обратная матрица произведения квадратных матриц равна произведениюобратных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке:

3) транспонированная обратная матрица равна обратной матрице от данной транспонированной матрицы:


П р и м е р .  Вычислить матрицу, обратную данной:

Р е ш е н и е . Определитель матрицы  А равен:

Следовательно, матрица  А неособенная. Присоединенная матрица Ã имеет вид:

Разделив все элементы присоединенной матрицы Ã на Δ = 1, получим обратную матрицу :

Проверим, что действительно,

Таким образом, найденная матрица является обратной для заданной матрицы А.

Главная | Дискретность | Пользование сайтом | Ссылки | Связь с нами
© Д-р Юрий Беренгард. 2010 - 2017
Последнее обновление: 23 июля 2015 г.


Rambler's Top100