Пользователь Пароль
Забыли пароль? Регистрация
Содержание >> Прикладная математика >> Математическая статистика >> Элементы математической статистики >> Системы случайных величин

Элементы математической статистики - Системы случайных величин

Системы случайных величин

Существенный интерес в математической статистике представляет рассмотрение системы двух и более случайных величин и их статистическая взаимосвязь друг с другом.

По аналогии с рядом распределения одной дискретной величины Х для двух дискретных случайных величин  X и Y строится матрица распределения – прямоугольная таблица, в которой записаны все вероятности  pi j = P{ X = xi , Y = yj } , i = 1, … , n;   j = 1,…, m.

События (или опыты) называются независимыми, если вероятность появления (исхода) каждого из них не зависит от того, какие события (исходы) имели место в других случаях (опытах).

Две случайные величины X и Y называются независимыми, если независимы все связанные с ними события: например, {X < а} и {Y < b} или {X = xi} и {Y = yi} и т.д.

В терминах законов распределения справедливо также следующее определение: две случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от принятого значения другой. 

Совместной функцией распределения системы двух случайных величин ( X, Y ) называется вероятность совместного выполнения неравенств X < х и Y < у :

             (34)

Событиеозначает произведение (совместное выполнение) событий {X < х} и {Y < у}.
Геометрической интерпретацией совместной функции распределения F ( x, y) является вероятность попадания случайной точки ( X, Y ) на плоскости внутрь бесконечного квадранта с вершиной в точке (x, y) (заштрихованная область на рис. 8).

Ris8_mat_stat.gif  

Рис. 8. Геометрическая интерпретация совместной функции распределения F(x, y)


Основные свойства совместной функции распределения:

           (35)

Здесь


Система двух случайных величин ( X, Y ) называется непрерывной, если ее совместная функция распределения F (x, y) – непрерывная функция, дифференцируемая по каждому аргументу, у которой существует вторая смешанная частная производная . Обе случайные величины X и Y – непрерывны. Тогда функция

           (36)

называется совместной плотностью распределения системы двух случайных величин ( X, Y ).

Основные свойства совместной плотности распределения:

              (37)

В качестве числовых характеристик системы двух случайных величин X и Y обычно рассматриваются начальные и центральные моменты различных порядков.  Порядком момента называется сумма его индексов k + s.

Начальным моментом порядка  k + s системы двух случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения X k на Y s :

             (38)

Центральным моментом порядка  k + s системы двух случайных величин ( X, Y ) называется  математическое ожидание произведения (Xmx )k на  (Ymy )s :

            (39)

где  mx = М (Х),  my = М (Y).

Для системы дискретных случайных величин X и Y :

           (40)

           (41)

где  рi j = Р { Х =xi , Y = yj }.


Для системы непрерывных случайных величин X и Y :

             (42)

               (43)

где  f ( x, y ) – совместная плотность распределения случайных величин X и Y.

В инженерных приложениях математической статистики чаще всего используются моменты первого и второго порядков.

Начальные моменты первого порядка

            (44)

являются математическими ожиданиями случайных величин X и Y.

Центральные моменты первого порядка всегда равны нулю:

          (45)


Начальные моменты второго порядка:

             (46)

Центральные моменты второго порядка:

             (47)

Здесь Dx , Dy – дисперсии случайных величин X и Y.

Центральный момент второго порядка  называется ковариацией случайных величин X и Y. Обозначим его :

.            (48)

Из определения ковариации (48) следует:

           (49)


Дисперсия случайной величины является по существу частным случаем ковариации:

           (50)

По определению ковариации (48) получим:

            (51)

Ковариация двух случайных величин X и Y характеризует степень их зависимости и меру рассеивания вокруг точки . Часто бывает удобно выразить ковариацию в виде:

           (52)

Выражение (52) вытекает из определения ковариации (48).

Размерность ковариации равна произведению размерностей случайных величин X и Y.

Безразмерная величина, характеризующая только зависимость случайных величин X и Y, а не разброс:

           (53)

называется коэффициентом корреляции случайных величин X и Y. Этот параметр характеризует степень линейной зависимости случайных

величин X и Y. Для любых двух случайных величин X и Y  коэффициент корреляции . Если , то линейная зависимость между X и Y возрастающая, если , то линейная зависимость междуX и Y убывающая, при  линейной зависимости между X и Y нет. При  случайные величины X и Y  называются коррелированными, при – некоррелированными. Отсутствие линейной корреляции не означает отсутствие любой другой зависимости между X и Y. Если имеет место жесткая линейная зависимость Y = aX+ b , то  при а > 0 и  при а < 0.

Главная | Дискретность | Пользование сайтом | Ссылки | Связь с нами
© Д-р Юрий Беренгард. 2010 - 2017
Последнее обновление: 23 июля 2015 г.


Rambler's Top100