Пользователь Пароль
Забыли пароль? Регистрация
Содержание >> Прикладная математика >> Численные методы >> Интерполяция функций >> Интерполирование сплайнами

Интерполяция функций - Интерполирование сплайнами

Интерполирование сплайнами

Интерполяционные формулы Лагранжа, Ньютона и Стирлинга и др. при использовании большого числа узлов интерполяции на всем отрезке [a, b] часто приводят к плохому приближению из-за накопления погрешностей в процессе вычислений [2]. Кроме того, из-за расходимости процесса интерполяции увеличение числа узлов не обязательно приводит к повышению точности. Для снижения погрешностей весь отрезок [a, b] разбивается на частичные отрезки и на каждом из них функциюзаменяют приближенно полиномом невысокой степени. Это называется кусочно-полиномиальной интерполяцией.

Один из способов интерполирования на всем отрезке [a, b] является интерполирование сплайнами.

Сплайном называется кусочно-полиномиальная функция, определенная наотрезке [a, b] и имеющая на этом отрезке некоторое количество непрерывных производных. Преимущества интерполяции сплайнами по сравнению с обычными методами интерполяции – в сходимости и устойчивости вычислительного процесса.

Рассмотрим один из наиболее распространенных в практике случаев – интерполирование функции кубическим сплайном.
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция. Введем разбиение отрезка:

          (6)

и обозначим  , .

Сплайном, соответствующим данной функциии узлам интерполяции (6) называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:

1) на каждом отрезке  ,  функция  является кубическим многочленом;

2) функция , а также ее первая и вторая производные непрерывны на отрезке [a, b] ;

3)

Третье условие называется условием интерполирования. Сплайн, определяемый условиями 1) – 3), называется интерполяционным кубическим сплайном.

Рассмотрим способ построения кубического сплайна [2].

На каждом из отрезков , будем искать сплайн-функцию  в виде полинома третьей степени:

          (7)

где искомые коэффициенты.

Продифференцируем (7) трижды по х :

откуда следует


Из условия интерполирования 3) получаем:

.           (8)

Кроме того, будем считать .

Из условий непрерывности функции вытекает:


Отсюда с учетом (7) получим:

Обозначиви опуская промежуточные выкладки [2], окончательно получим систему уравнений для определения коэффициентов

            (9)

В силу трехдиагональности матрицы коэффициентов система (9) имеет единственное решение [2]. Найдя коэффициенты  , остальные коэффициенты определим по явным формулам:

              (10)

Таким образом, существует и найден единственный кубический сплайн, удовлетворяющий условиям 1) –  3) .

Главная | Дискретность | Пользование сайтом | Ссылки | Связь с нами
© Д-р Юрий Беренгард. 2010 - 2017
Последнее обновление: 23 июля 2015 г.


Rambler's Top100