Пользователь Пароль
Забыли пароль? Регистрация
Содержание >> Прикладная математика >> Численные методы >> Дифференциальные уравнения >> Метод Эйлера

Дифференциальные уравнения - Метод Эйлера

Метод Эйлера

Рассмотрим дифференциальное уравнение

          (1)

с начальным условием


Подставив в уравнение (1), получим значение производной в точке :


При малом  имеет место:


Обозначив  , перепишем последнее равенство в виде:

         (2)

Принимая теперь за новую исходную точку, точно также получим:


В общем случае будем иметь:

      (3)

Это и есть метод Эйлера. Величина  называется шагом интегрирования. Пользуясь этим методом, мы получаем приближенные значения у , так как производная  на самом деле не остается постоянной на промежутке длиной . Поэтому мы получаем ошибку в определении значения функции у , тем большую, чем больше . Метод Эйлера является простейшим методом численного интегрирования дифференциальных уравнений и систем. Его недостатки – малая точность и систематическое накопление ошибок.

Более точным является модифицированный метод Эйлера с пересчетом. Его суть в том, что сначала по формуле (3) находят так называемое «грубое приближение» (прогноз):


а затем пересчетом получают тоже приближенное, но более точное значение (коррекция):

          (4)


Фактически пересчет позволяет учесть, хоть и приблизительно, изменение производной на шаге интегрирования , так как учитываются ее значения  в начале и  в конце шага (рис. 1), а затем берется их среднее. Метод Эйлера с пересчетом (4) является по существу методом Рунге-Кутта 2-го порядка [2], что станет очевидным из дальнейшего.

Ris1_Euler_meth.gif
Рис. 1. Геометрическое представление метода Эйлера с пересчетом.

Главная | Дискретность | Пользование сайтом | Ссылки | Связь с нами
© Д-р Юрий Беренгард. 2010 - 2014.
Последнее обновление: 3 сентября 2013 г.


Rambler's Top100