Пользователь Пароль
Забыли пароль? Регистрация
Содержание >> Прикладная математика >> Численные методы >> Дифференциальные уравнения >> Примеры

Дифференциальные уравнения - Пример

Пример [1].

Вычислить методом Рунге-Кутта интеграл дифференциального уравнения при начальном условии  на отрезке [0, 0.5] с шагом интегрирования  
Р е ш е н и е . Вычислим . Для этого сначала последовательно вычисляем :

Теперь получим

и, следовательно,


Аналогично вычисляются последующие приближения. Результаты вычислений сведены в таблицу:


Результаты численного интегрирования дифференциального
уравнения (1) методом Рунге-Кутта четвертого порядка


i

 

          
x

         
y

 
k = 0.1 ( x + y )

         
Δy

0

   1

  1

1

0.1

 

   0.05

  1.05

1.1

0.22

 

   0.05

  1.055

1.105

0.221

 

   0.1

  1.1105

1.210

0.1210

 

 

 

 

1/60.6620=0.1103

1

   0.1

  1.1103

1.210

0.1210

 

   0.15

  1.1708

1.321

0.2642

 

   0.15

  1.1763

1.326

0.2652

 

   0.2

  1.2429

1.443

0.1443

 

 

 

 

1/60.7947=0.1324

2

   0.2

  1.2427

1.443

0.1443

 

   0.25

  1.3149

1.565

0.3130

 

   0.25

  1.3209

1.571

0.3142

 

   0.3

  1.3998

1.700

0.1700

 

 

 

 

1/60.9415=0.1569

3

   0.3

  1.3996

1.700

0.1700

 

   0.35

  1.4846

1.835

0.3670

 

   0.35

  1.4904

1.840

0.3680

 

   0.4

  1.5836

1.984

0.1984

 

 

 

 

1/61.1034=0.1840

4

   0.4

  1.5836

1.984

0.1984

 

   0.45

  1.6828

2.133

0.4266

 

   0.45

  1.6902

2.140

0.4280

 

   0.5

  1.7976

2.298

0.2298

 

 

 

 

1/61.2828=0.2138

5

   0.5

  1.7974

 

 

Итак,  у (0.5) =1.7974.

Для сравнения точное решение дифференциального уравнения (1):


откуда  
Таким образом, точное и численное решения уравнения (1) совпали до пятого десятичного знака.
Метод Рунге-Кутта также широко применяется для численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. 

Главная | Дискретность | Пользование сайтом | Ссылки | Связь с нами
© Д-р Юрий Беренгард. 2010 - 2017
Последнее обновление: 23 июля 2015 г.


Rambler's Top100