Пользователь Пароль
Забыли пароль? Регистрация
Содержание >> Инженерная математика >> Системы управления >> Динамический синтез системы управления объемным гидроприводом >> Синтез управления силовым гидроприводом объемного регулирования >> Метод кратных периодов собственных колебаний >> Алгоритм

Системы управления - Динамический синтез - Метод кратных периодов собственных колебаний - Алгоритм

Алгоритм

Рассмотрим упрощенную расчетную схему гидропривода поступательного движения с замкнутой циркуляцией потока (рис. 3).

Рис. 3.

Запишем систему дифференциальных уравнений динамики рассматриваемой гидросхемы с учетом упругости рабочей жидкости, приняв следующие допущения:
1) утечки рабочей жидкости в гидросистеме отсутствуют, поэтому работа системы подпитки не рассматривается;
2) потери давления по длине трубопроводов и в местных сопротивлениях пренебрежимо малы;
3) приведенные масса и нагрузка на штоке гидроцилиндра, а также частота вращения вала насоса постоянны;
4) параметры рабочей жидкости (плотность, вязкость, модуль объемной упругости) постоянны;
5) динамика механизма управления подачей насоса на данном этапе решения не рассматривается.
Учет динамики механизма управления подачей насоса не представляет принципиальных трудностей, так как эта задача может быть решена и после (параллельно) рассматриваемой, когда искомая зависимость рабочего объема насоса q(t) (или хотя бы его текущее численное значение) уже известна. Для этого следует записать математическую модель механизма управления, выходом которой является q(t).
Математическая модель рассматриваемой гидросистемы с учетом принятых допущений имеет вид:

где m – приведенная к штоку масса подвижных частей исполнительного механизма; р1, р2 – давления в напорной и сливной полостях гидросистемы; x, v – перемещение и скорость поршня гидроцилиндра; R0тр – постоянная сила сухого трения в уплотнениях гидроцилиндра при отсутствии давлений в полостях; k1, k2 – коэффициенты пропорциональности в переменных составляющих силы трения, зависящих от давления; R– постоянная нагрузка на штоке гидроцилиндра; ωн – угловая скорость вала насоса; F – рабочая площадь поршня гидроцилиндра; q(t) – рабочий объем насоса в функции времени (собственно сигнал управления); kупр1, kупр2 – коэффициенты упругости полостей гидросистемы, равные:

где L – максимальный ход поршня гидроцилиндра; dтр i, lтр i – диаметр и длина i-го трубопровода; ΔV–«мертвый» объем полости гидроцилиндра; Епр i – приведенный модуль объемной упругости i-го трубопровода с рабочей жидкостью:

где Еж  – модуль объемной упругости рабочей жидкости; δтр i – толщина стенки i-го трубопровода; Ест – модуль упругости материала стенки трубопровода; Епр – приведенный модуль упругости полости гидроцилиндра, определяемый аналогичным (7) образом.
Положим для простоты v > 0, то есть sign v = 1.
Дифференцируя по времени первое из уравнений системы (5), с учетом принятых допущений получим:

Подставляя в (8) из последних двух уравнений системы (5), получим:

или

Несмотря на зависимость (6) коэффициентов упругости kупр1 и kупр2 от х, в рамках принятых допущений и для реальных значений F, k1, k2 и других параметров, нетрудно показать (см. Приложение), что выражение, стоящее в уравнении (9) в качестве множителя перед v, меняется незначительно (~13%), поэтому в первом приближении можно считать уравнение (9) линейным:

Задав начальные условия:

получим решение уравнения (10), которое с учетом начальных условий (11) имеет вид [9]:

Исходя из условий точности позиционирования, необходимо выбрать управление φ(t) таким образом, чтобы к моменту окончания регулирования погасить собственные колебания.
Рассмотрим класс линейных управлений φ(t) (в общем случае – кусочно-линейных, если учесть, что для каждого этапа движения временной интервал (0, t) является «скользящим», то есть его левая граница соответствует t = 0; иными словами, начальные условия (11) для 2-го и 3-го этапа движения заменяются значениями фазовых переменных в конце предыдущего этапа).
Итак, пусть q(t) = αt + β, тогда

Подставляя (13) в (12), получим:

откуда

или окончательно:

Подставляя (17) в уравнение (5) для р1 и интегрируя по t, получим:

где р10 = р1(0).

Рассмотрим отдельно основные фазы движения и управления.

Разгон

Начальные условия при разгоне:

В этом случае имеем:

Введем ограничения:

Первое из ограничений (21) вводится, исходя из требований эксплуатации гидросистемы, а именно: давление не должно быть ниже некоторого минимального уровня, определяемого условиями всасывания рабочей жидкости на входе основного насоса и не должно достигать давления срабатывания предохранительного клапана, так как в противном случае будет искажен желаемый процесс управления гидроприводом. Ограничения (22) отражают чисто геометрические возможности регулируемого насоса.
Пусть TI – время управления при разгоне, тогда TI = qн / α. При t = TI получим:

Потребуем, чтобы тогда:

откуда

и

Если принять (для того, чтобы в конце разгона ), то

Тогда при t = TI имеем:

Найдем max p1(t) при (27) на временнóм промежутке 0 ≤ tTI:

а так как  – период функции  p1(t), то ее максимум на [0, TI] равен:

Из условия (21) получим:

откуда следует:

С другой стороны, при отсутствии системы подпитки давление р2 в сливной магистрали меняется аналогично (18):

где р20 = р2(0). При разгоне, с учетом начальных условий (19), получим:

откуда исходя из ограничения (21) с учетом (27), получим:

следовательно,

Таким образом, из (32) и (36) следует, что при разгоне:

Еще раз подчеркнем, что справедливость формул (34) – (37) имеет место только при отсутствии системы подпитки. При наличии последней необходимость в этих условиях отпадает.

Установившееся движение

Для этого этапа движения задаются новые начальные условия:

где  – значения соответствующих фазовых координат в конце предыдущего этапа движения (разгона). Подставляя (38) в уравнения (16), (17) и (18), соответственно получим:

откуда очевидно, что на временнóм промежутке имеет место равномерное движение гидропривода. Величина TII (длительность установившегося движения) будет определена позже.

Торможение

Начальные условия на этапе торможения:

Если принять аналогично (27) при разгоне, что при торможении

то подставляя (42) в уравнения (16), (17) и (18), получим из условия (21) аналогично предыдущему:

и

Если принять в качестве n и k их общие значения для всех режимов, то тогда

Длительность торможения в этом случае составит:

тогда перемещения поршня при разгоне Δх1 и торможении Δх3 соответственно равны:

Тогда, если хТ* – заданное конечное положение поршня, то

откуда с учетом (48) получим:

следовательно,

Если обозначить правую часть неравенства (46) через , то с учетом (50) должно иметь место неравенство:

из которого следует, что если оно не выполняется (например, при малых перемещениях ), то надо вводить  κqн  вместо  qн,  где 0 ≤ κ ≤ 1, то есть уменьшать qн до тех пор, пока не будет выполняться неравенство (51).
Общее время движения Т равно:

а момент начала торможения: При tTIII получим: α = 0, β = 0, v0 = 0, w0 = 0, то есть система «стоит».
Отметим, что из множества всех допустимых, то есть удовлетворяющих условию (46), значений n следует выбрать наименьшее. Это позволит при прочих равных условиях минимизировать время регулирования Т, а также даст возможность обеспечить выполнение неравенства (51).
На этом этап «грубого» управления окончен.
Описанный алгоритм управления иллюстрируется на рис. 4, где v(t) и x(t) – идеализированные циклограммы скорости и перемещения поршня исполнительного гидроцилиндра.

Рис. 4.

Главная | Дискретность | Пользование сайтом | Ссылки | Связь с нами
© Д-р Юрий Беренгард. 2010 - 2017
Последнее обновление: 11 ноября 2017 г.


Rambler's Top100