Пользователь Пароль
Забыли пароль? Регистрация
Содержание >> Прикладная математика >> Численные методы >> Алгебраические и трансцендентные yравнения >> Метод касательных

Алгебраические и трансцендентные уравнения - Метод касательных

Метод касательных (метод Ньютона-Рафсона)

Рассмотрим вновь уравнение (1):

 

где функция F( x ) - дифференцируема и определена на некотором интервале

Разложим функцию F( x ) в степенной ряд и ограничимся линейной частью разложения:

       (5)

что эквивалентно замене функции F( x ) в произвольной точке  x  ее касательной в этой точке.

Тогда из (1) и (5) следует:

           (6)

          
Если принять  за нулевое приближение, то формулу (6) можно использовать для нахождения следующего, 1-го приближения:

          (7)


отсюда следует, что (n+1)-е приближение определится по формуле:

        (8)


Соотношение (8) и есть метод касательных или метод Ньютона-Рафсона.

Условия сходимости процесса (8) имеют вид:

1) нулевое приближение  выбрано достаточно близко к корню уравнения

2) вторая производная F’’ ( x ) не становится слишком большой,

3) первая производная F’ ( x ) не слишком близка к 0.

Последнее условие означает, что никакие два корня не находятся близко друг от друга, а совместное выполнение условий 2) и 3) аналогично требованию  в методе итераций.
Процесс (8) считается завершенным, если  – заданная точность решения.
Метод Ньютона-Рафсона находит широкое применение для решения систем нелинейных уравнений высокого порядка. Примеры см. здесь и здесь.

Главная | Дискретность | Пользование сайтом | Ссылки | Связь с нами
© Д-р Юрий Беренгард. 2010 - 2017
Последнее обновление: 23 июля 2015 г.


Rambler's Top100