Пользователь Пароль
Забыли пароль? Регистрация
Содержание >> Прикладная математика >> Численные методы >> Алгебраические и трансцендентные yравнения >> Метод итераций

Алгебраические и трансцендентные уравнения - Метод итераций

Метод итераций (метод последовательных приближений)

Говорят, чтоитерационный процесс сходится, если при выполнении последовательных итераций получаются значения корней, все ближе и ближе приближающиеся к точному значению корня. В противном случае итерационный процесссчитается расходящимся.
Перепишем для удобства уравнение (1) в виде:

       (3)

что можно получить путем замены: .
Пусть  – нулевое приближение, т.е. начальное приближенное значение корня уравнения (3). Тогда в качестве следующего, 1-го, приближения примем

следующим, 2-м, приближением будет

и т.д.,  в качестве n-го приближения примем

        (4)


Здесь возникает главный вопрос: приближается ли  к истинному решению уравнения (3) при неограниченном возрастании n ? Иными словами, сходится ли итерационный процесс (4) ?


Уловия сходимости метода итераций [2]: если при всех значениях , вычисляемых в процессе (4) решения задачи:
1) , то итерационный процесс сходится;
2) , то итерационный процесс расходится.

Если производная  в некоторых точках  по модулю меньше 1, а в других точках  – больше 1, то ничего определенного о сходимости итерационного процесса сказать нельзя. Он может как сходиться, так и расходиться.

Если итерационный процесс расходится, то причиной этого часто является неудачный выбор нулевого приближения. Так, на рис. 1 показано, что выбор нулевого приближения существенно влияет на сходимость итерационного процесса. Это напрямую связано с тем, находится ли нулевое приближение  в области, где выполняются условия сходимости итерационного процесса.

Ris1_iter.gif

Рис. 1. Зависимость сходимости итерационного процесса от выбора нулевого приближения


Процесс (4) считается завершенным, если  – заданная точность решения.

Главная | Дискретность | Пользование сайтом | Ссылки | Связь с нами
© Д-р Юрий Беренгард. 2010 - 2017
Последнее обновление: 23 июля 2015 г.


Rambler's Top100