Пользователь Пароль
Забыли пароль? Регистрация
Содержание >> Прикладная математика >> Численные методы >> Алгебраические и трансцендентные yравнения >> Примеры

Алгебраические и трансцендентные уравнения - Примеры

Примеры

П р и м е р 1. Решить кубическое уравнение с относительной точностью =0.001 методом касательных Ньютона-Рафсона.
Р е ш е н и е . В данном случае  Следовательно,  В качестве нулевого приближения примем =3 (точное значение корня =2). Тогда по формуле (7) получим:

,
,

Проверим, достигнута ли заданная относительная точность :


Продолжим итерации:

.

Вновь проверим, достигнута ли заданная относительная точность :

.

Следующая итерация с точностью до 6-ти десятичных знаков дает практически точное значение корня:

.

Однако, и здесь следует проверить, достигнута ли заданная относительная точность :

.

Найденный корень уравнения равен 2.0000001. Таким образом, вычислительный процесс сошелся за 4 итерации, и мы получили искомый корень с заданной относительной точностью.

П р и м е р 2. Решить кубическое уравнение  с относительной точностью =0.001 методом итераций.
Р е ш е н и е . Перепишем заданное уравнение в виде (3):

где  

Тогда по формуле (4) получим:


Условие сходимости в данном случае имеет вид:  но в этом интервале нет корней уравнения . Более того, для функции в окрестности корня =2 имеет место неравенство, т.е. условие сходимости не выполняется и искать решение уравнения в виде  не имеет смысла, так как численный процесс будет расходящимся. Поэтому следует записать данное уравнение по-другому:


тогда  и очевидно, что в окрестности корня =2 здесь имеет место неравенство: , следовательно, выполняется условие сходимости. Поэтому решение данного кубического уравнения будем искать по формуле:


Примем вновь в качестве нулевого приближения =3. Тогда получим:




На этом шаге заданная относительная точность  достигнута:

,

поэтому процесс нахождения корня уравнения может считаться завершенным. Найденный корень уравнения равен 2.000050. Таким образом, и здесь искомый корень найден за 4 итерации с заданной относительной точностью

П р и м е р 3. Решить кубическое уравнение  с относительной точностью =0.001 методом хорд.
Р е ш е н и е . Здесь  Будем искать решение на отрезке [0, 4] (напомним, что точное значение корня =2). В качестве нулевого приближения примем =0. Тогда по формуле (12) получим:






На этом шаге заданная относительная точность  достигнута:

,

и таким образом, процесс нахождения корня может считаться завершенным. Найденный корень уравнения равен 1.9986328. Здесь искомый корень уравнения с заданной относительной точностью  получен за 12 итераций.

П р и м е р 4. Решить кубическое уравнение  методом половинного деления с точностью =0.001.
Р е ш е н и е . Здесь В качестве начального рассмотрим отрезок [0, 3], так как его концах функция F(x) принимает разные знаки: Тогда согласно условию сходимости (11) в данном примере получим:

,

откуда следует т.е. для достижения заданной точности решения этого уравнения методом половинного деления на отрезке [0, 3] потребуется не менее 12 итераций.
Последовательность действий методом половинного деления сводится к следующему: на каждом шаге рассматриваем очередной отрезок, делим его пополам и вычисляем значение функции F(x) в середине этого отрезка, выбираем ту половину отрезка, на концах которой F(x) имеет  разные знаки. Результаты проведенных последовательных действий по методу половинного деления сведены в таблицу:

 

№№
п/п

 

 Рассматриваемый отрезок

Значение  функции
F(x
в левом   конце  отрезка

Значение  функции
F(x)
в правом  конце  отрезка

Середина отрезка (приближенное значение корня на данном шаге)

Значение функции
F(x)  в
середине отрезка

 

Точность решения

  1

                 [0, 3]

– 10.000

+20.000

         1.5

 – 5.125

     1.5

  2

               [1.5, 3]

 – 5.125

+20.000

        2.25

 +3.640

    0.75

  3

            [1.5, 2.25]

 – 5.125

  +3.640

       1.875

 – 1.533

   0.375

  4

          [1.875, 2.25]

 – 1.533

  +3.640

      2. 0625

 +0.836

  0.1875

  5

        [1.875, 2. 0625]

 – 1.533

  +0.836

     1.96875

 – 0.400

 0.09375

  6

      [1.96875, 2. 0625]

 – 0.400

  +0.836

    2. 015625

 +0.205

0.046875

  7

    [1.96875, 2. 015625]

 – 0.400

  +0.205

   1.9921875

 – 0.101

0.023437

  8

   [1.9921875, 2.015625]

 – 0.101

  +0.205

  2.00390625

 +0.051

0.011719

  9

  [1.9921875, 2.00390625]

 – 0.101

  +0.051

 1.998046875

 – 0.025

0.005859

 10

[1.998046875, 2.00390625]

 – 0.025

  +0.051

2.0009765625

 +0.013

0.002930

 11

[1.998046875, 2.0009765625]

 – 0.025

  +0.013

  1.99951172

 – 0.006

0.001465

 12

   [1.99951172, 2.000244]

 – 0.006

  +0.003

    1.999878

– 0.0016

0.000732

На 12-ом шаге в соответствии с оценкой (11) достигается заданная точность решения: , следовательно, для решения этого уравнения с заданной точностью методом половинного деления на отрезке [0, 3] потребовалось, как и ожидалось, 12 итераций. Найденный корень уравнения равен 1.999878. Заметим, что, если бы в данном примере мы рассмотрели отрезoк [0, 4] в качестве начального, то уже на первой итерации получили бы точное решение уравнения, так как

Главная | Дискретность | Пользование сайтом | Ссылки | Связь с нами
© Д-р Юрий Беренгард. 2010 - 2017
Последнее обновление: 23 июля 2015 г.


Rambler's Top100